جواب کاردرکلاس صفحه 97 حسابان دوازدهم

پاسخ تشریحی و گام به گام کار در کلاس صفحه 97 حسابان دوازدهم سلام! تعریف مشتق‌پذیری بر روی یک بازه، نیازمند تعریف مشتق‌پذیری در **نقاط داخلی** و **نقاط انتهایی (مرزی)** بازه است. در نقاط انتهایی، فقط مشتق یک طرفه (راست یا چپ) مورد نیاز است. 💡 --- ### 1. تعریف مشتق‌پذیری روی بازه **بسته** $[a, b]$ تابع $f$ روی بازه $[a, b]$ مشتق‌پذیر است هرگاه: 1. **درون بازه:** تابع $f$ در تمام نقاط بازه **$(a, b)$** مشتق‌پذیر باشد ($f'(x)$ موجود باشد). 2. **نقطه شروع (حد چپ):** مشتق راست در $a$ موجود باشد ($f'_+(a)$ موجود و متناهی باشد). 3. **نقطه پایان (حد راست):** مشتق چپ در $b$ موجود باشد ($f'_-(b)$ موجود و متناهی باشد). **خلاصه:** $$f \text{ در } (a, b) \text{ مشتق‌پذیر باشد و } f'_+(a) \text{ و } f'_-(b) \text{ موجود باشند.}$$ --- ### 2. تعریف مشتق‌پذیری روی بازه **نیمه‌باز** $(a, b]$ تابع $f$ روی بازه $(a, b]$ مشتق‌پذیر است هرگاه: 1. **درون بازه:** تابع $f$ در تمام نقاط بازه **$(a, b)$** مشتق‌پذیر باشد ($f'(x)$ موجود باشد). 2. **نقطه پایان (حد راست):** مشتق چپ در $b$ موجود باشد ($f'_-(b)$ موجود و متناهی باشد). **خلاصه:** $$f \text{ در } (a, b) \text{ مشتق‌پذیر باشد و } f'_-(b) \text{ موجود باشد.}$$ --- ### 3. تعریف مشتق‌پذیری روی بازه **نیمه‌باز** $[a, b)$ * **توجه:** این قسمت در متن سوال نیامده اما برای تکمیل بحث ارائه می‌شود. تابع $f$ روی بازه $[a, b)$ مشتق‌پذیر است هرگاه: 1. **درون بازه:** تابع $f$ در تمام نقاط بازه **$(a, b)$** مشتق‌پذیر باشد ($f'(x)$ موجود باشد). 2. **نقطه شروع (حد چپ):** مشتق راست در $a$ موجود باشد ($f'_+(a)$ موجود و متناهی باشد). **خلاصه:** $$f \text{ در } (a, b) \text{ مشتق‌پذیر باشد و } f'_+(a) \text{ موجود باشد.}$$